Bài 7 trang 69 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân (x) của hai đoạn thẳng (a, b) (tức là ({x^2} = ab) ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên.

Xét (Delta{ABC}) có:

(OA = OB = OC = dfrac{BC}{2}) (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà (AO) là trung tuyến ứng với cạnh (BC) của (Delta{ABC}).

Suy ra (Delta{ABC}) vuông tại (A) ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét (Delta{ABC}) vuông tại (A), đường cao (AH). Áp dụng hệ thức (h^2=b'.c'), ta được:

(AH^2=BH.CH Leftrightarrow x^2=a.b)

(Leftrightarrow x=sqrt {ab})

Vậy (x) là trung bình nhân của (a) và (b).

Cách vẽ: Bước (1): Đặt (BH=a, CH=b). Xác định trung điểm (O) của đoạn (AB).

Bước (2): Vẽ nửa đường tròn tâm (O) bán kính (OB).

Bước (3): Kẻ thẳng đi qua (H) và vuông góc với (BC). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại (A).

Bước (4): Nối (A) và (H) ta được (AH=x) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng (a, b).

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Xét (Delta{ABC}) có:

(OA = OB = OC = dfrac{BC}{2} ) (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà (AO) là trung tuyến ứng với cạnh (BC) của (Delta{ABC}).

Suy ra (Delta{ABC}) vuông tại (A) (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét (Delta{ABC}) vuông tại (A), đường cao (AH). Áp dụng hệ thức (b^2=b'.a), ta có:

(AB^2 = BC.BH Leftrightarrow x^2=a.b)

(Leftrightarrow x=sqrt{ab})

Vậy (x) là trung bình nhân của (a) và (b).

Cách vẽ: Bước (1): Đặt (BH=a, CH=b). Xác định trung điểm (O) của đoạn (BC).

Bước (2): Vẽ nửa đường tròn tâm (O) bán kính (OB).

Bước (3): Kẻ đường thẳng đi qua điểm (H) và vuông góc với (BC). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại (A).

Bước (4): Nối (B) và (A) ta được (AB=x) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng (a, b).

Loigiaihay.com