Khi học về dãy hàm hay tích phân phụ thuộc tham số ta quan tâm đến:
- tính liên tục,
- tính khả tích,
- tích khả vi
của hàm giới hạn và tích phân phụ thuộc tham số. Dưới đây ta tập trung vào việc quan sát tính khả tích và khả vi, đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.
Ta bắt đầu với dãy hàm 
là các hàm khả vi. Trước hết ta quan sát một số ví dụ để thấy nếu dãy hàm 
hội tụ đều đến hàm trong thì hàm giới hạn chưa chắc khả vi.
VD 1: Xuất phát từ hàm không khả vi
Ta làm nhiễu đồ thị của hàm này một chút bằng cách
Không khó tính toán
nên dãy là
- dãy gồm các hàm khả vi trên
- hội tụ đều, trên đến hàm không khả vi
Trong ví dụ này chỉ có một điểm không khả vi. Liệu giới hạn đều của dãy hàm khả vi vẫn có thể khả vi đâu đó không?
VD2: Hàm Weierstrass
- không khả vi tại bất kỳ điểm nào trong
- là giới hạn đều của dãy các đa thức lượng giác
là các hàm khả vi vô hạn.
Một cách tổng quát, Weierstrass đã chỉ ra:
Với bất kỳ hàm liên tục đều có dãy các đa thức hội tụ đều đến trên
Các bạn tham khảo thêm
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
Khi S. N. Bernstein còn chỉ ra cụ thể dãy các đa thức Bernstein
với là đơn thức Bernstein.
Chi tiết các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial
Cũng trường hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ được hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ Khi đó L. Fejer chỉ ra dãy các đa thức
với hệ số Fourier
Vậy điều kiện gì đảm bảo hàm giới hạn khả vi?
Một trong các điều kiện cần:
- dãy các đạo hàm hội tụ đều trong ,
- bản thân dãy hàm đã cho chỉ cần hội tụ tại một điểm
Do tính khả vi có tính chất địa phương nên ta có thể tinh chỉnh một chút: cố định
- bản thân dãy hàm hội tụ tại ,
- có đủ nhỏ để và dãy đạo hàm hội tụ đều đến hàm trong
Khi đó hội tụ đến trong . Hơn nữa khả vi trên và
trong
Ta sẽ sử dụng kết quả về tính khả tích của dãy hàm khả tích hội tụ đều để chứng minh kết quả trên. Muốn vậy ta cần tăng giả thiết, cụ thể liên tục trên Khi đó dãy nguyên hàm
hội tụ trên đến Lại có
và dãy hội tụ, ký hiệu giới hạn này Khi đó dãy hội tụ trong đến Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Giả thiết về tính liên tục là đòi hỏi khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không cần đến giả thiết này. Có khá nhiều ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm không khả tích Riemann. Ví dụ là hàm khả vi trong có đạo hàm
là hàm không bị chặn trong nên không khả tích trong đó.
Ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm bị chặn và không khả tích Riemann, được Volterra lần đầu tiên đưa ra. Ví dụ này được xây dựng khá phức tạp. Các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
Ví dụ đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Ví dụ này có nhiều nét giống ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Các bạn tham khảo
Phản ví dụ Định lý Sard
Nhấp để truy cập Goffman77.pdf
Câu hỏi khác liên quan đến vấn đề này: hàm khả vi, ta có thể khôi phục lại hàm từ đạo hàm của nó nhờ tích phân?
Trường hợp có đạo hàm là hàm khả tích Riemann trên thì nó có tập các điểm gián đoạn có độ đo không. Khi đó
khả vi hầu khắp nơi và hầu khắp nơi. Hơn nữa
trên
Một cách tổng quát, nếu một hàm liên tục tuyệt đối địa phương thì
- nó khả vi hầu khắp nơi, có đạo hàm khả tích Lebesgue địa phương trong ,
- và
Các bạn thử dùng kết quả này để đưa ra các kết quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.
Ta chuyển sang tích phân phụ thuộc tham số cận hữu hạn
với
+ khả tích trên theo với mỗi cố định,
+ có đạo hàm riêng theo với mỗi cố định.
Câu hỏi:
+ có khả vi trong không?
+ Nếu có thì liệu
có đúng không?
VD3: Xét hàm xác định bởi
có
và
không khả vi tại
VD4: Xét Xét hàm xác định bởi
có
và
có đạo hàm
nên
Vậy điều kiện gì để không xảy ra những điều như các ví dụ trên?
Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đòi hỏi thêm
là hàm liên tục trên
Cũng giống dãy hàm, tính khả vi mang tính địa phương nên tinh chỉnh: cố định
Giả sử có để và
là hàm liên tục trên
Khi đó khả vi trong và
Để chứng minh ta dùng tính khả tích của , cụ thể
.
Ngoài ra, chú ý tính liên tục của
và
ta có
là nguyên hàm của
và
.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ cần đạo hàm riêng bị chặn là đủ. Các bạn tham khảo
http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral
Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đưa ra việc sử dụng tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số để chứng minh tính khả tích. Ở đó ta cần tính liên tục của trên Sau khi học tích phân bội ta sẽ thấy điều kiện liên tục mạnh so với tính khả tích. Thực sự ta chỉ cần tính khả tích để chứng minh tính khả tích. Kết quả mạnh về điều này các bạn tham khảo
https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem
